Parlando di Nepero e dei logaritmi

John_Napier

Benché, a dire il vero, il primo a utilizzare i logaritmi fosse l’astronomo e matematico Joos Bürgi, assistente di Keplero nell’elaborare i calcoli astronomici e orologiaio di Rodolfo II, colui che ne diede una trattazione matematica completa ed esaustiva fu John Napier, noto come Giovanni Nepero o, più spesso, semplicemente Nepero, personaggio che non sfigurerebbe, con tutte le sue stranezze e peculiarità in qualche romanzo fantasy.

John nacque nel 1550 all’interno del Merchiston Castle ad Edinburgo, rampollo di una delle più ricche e nobili famiglie scozzesi e la madre, Janet Bothwell, era imparentata con gli Stewart, che discendevano da un figlio illeggitimo di Giacomo V di Scozia e che avevano una particolare attitudine alla ribellione e al complotto contro il potere legittimo.

Un piccolo pettegolezzo: Archibald Napier aveva solamente 16 anni quando concepì il genio matematico di famiglia, suo figlio John. Ergo, John nacque in una famiglia benestante, vivendo una vita agiata, tanto da non frequentare la scuola sino ai 13 anni di età, quando si iscrisse alla alla St Andrews University; poco tempo dopo la sua immatricolazione, a cusa della morte della madre, cadde in profonda depressione.

Per uscirne, il padre, su consiglio dello zio vescovo, lo mandò a proseguire gli studi all’estero; probabilmente completò gli studi a Parigi, per poi andare a bighellonare in Olanda e in Italia.

Nel 1571 Nepero fece il suo ritorno in Scozia per essere presente alle seconde nozze del padre. Nel medesimo anno Giovanni incominciò i preparativi per il suo matrimonio, che però si concretizzò solamente 2 anni dopo. In parallelo si dedicò alla stesura di quella che vrebbe sempre considerato la sua opera più importante, cioè il trattato religioso anticattolico intitolato Discoprimento della completa rivelazione di san Giovanni, apparso nel 1593. Si tratta di un commento all’Apocalisse di Giovanni, in cui, mediante un’argomentazione di tipo ipotetico-deduttivo, erano sostenute due tesi fondamentali: il papa era l’anticristo e la fine del mondo sarebbe avvenuta nel 1786.

Nel 1574 Nepero e sua moglie si sistemarono nel castello a Gartness, luogo da cui Giovanni decise di amministrare e far fruttare i propri vasti possedimenti, dedicandosi persino all’agricoltura in modo scientifico. Nel frattempo si dedicò a un nuovo passatempo, la progettazione di armi. In parecchi suoi appunti, si vanta di avere inventato uno specchio ustorio per bruciare le navi, un pezzo d’artiglieria mobile su un piano orizzontale, una specie di carro d’assalto metallico movibile in ogni senso e il mezzo di navigare sotto l’acqua.

Visto che il governo npn lo assecondava nel realizzare concretamente, decise di dedicarsi, da buon gentiluomo dell’epoca alla trigonometria, branca della matematica che nel manierismo andava parecchio di moda, definendo le formule che comunemente portano il nome di Borda, le formule note col nome di analogie di Nepero e la cosiddetta regola di Nepero per ricavare le relazioni tra gli elementi di un triangolo sferico rettangolo, alla cabala e all’alchimia.

Ovviamente, queste sue passioni gli causarono una pessima fama presso i suoi coetanei: Nepero fu accusato di avere stipulato un patto con il diavolo, di vestirsi in maniera bizzarra e di avere come famiglio un gallo nero.

Inoltre, tutte passioni erano accumunate dal fatto di contemplare quantità industriali di calcoli, che Nepero si annoiava a fare. Per cui, buona parte della sua esistenza, dai quaranta anni in poi, fu impegnata per inventarsi strumenti per semplificarsi la vta in tale ambito. Era solito ripetere

Eseguire calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica…

Il primo passo fu inventare uno strumento meccanico di calcoli, i cosiddetti bastoncini (virgulae) di Nepero, detti anche virgulae numeratrices.

Questi sono asticelle su cui sono incisi i primi multipli di un numero, con le decine e le unità divise da una barra obliqua. Accostando i bastoncini corrispondenti a diverse cifre fino a comporre un certo numero (per esempio accostando i bastoncini per il 2, il 4 e il 6 a comporre “246”), e sommando le cifre che risultano adiacenti (non separate dalla barra) nelle diverse righe, si ottiene facilmente la tabellina dei multipli del numero in questione. Quindi possono essere considerati come una generalizzazione della tavola pitagorica.

Nepero progettò numerose varianti di questo meccanismo, tra l’altro con regole per dividere ed estrarre radici quadre e cubiche, descrivendoli in Rhabdologiae seu Numerationis per virgulas libri duo. La sua idea fu nel tempo integrata a molte addizionatrici meccaniche al fine di trasformale in macchine “moltiplicatrici”, come la macchina di Wilhelm Schickard (1623) ol’Omega di J. Bamberger (1905), e divenne la base dei nostri regoli calcolatori.

Attorno al 1594, Nepero cominciò invece a lavorare ad un metodo maggiormente teorico, pubblicato solamente 20 anni dopo. La scintilla nacque dall’incontro con John Craig, medico personale di Giacomo I, che era stato membro della delegazione che aveva accompagnato il re d’Inghilterra e Scozia a Copenaghen, per incontrare la futura moglie, Anna di Danimarca.

Una tempesta aveva poi costretto la delegazione a sbarcare in un punto della costa danese non lontano dall’osservatorio di Tycho Brahe e, mentre aspettavano che le condizioni meteorologiche migliorassero, furono intrattenuti dal celebre astronomo, quale saputo della passione della matematica di Craig, gli parlò delle formule di prostaferesi, che consentono di trasformare la somma o la differenza di seni, coseni, tangenti e cotangenti in prodotti.

Cosa che fu riferita a Nepero, il quale cominciò a chiedersi se fosse possibile anche realizzare il contrario, ossia identificare una formula capace di trasformare una moltiplicazione in una somma. Cosa nota dai tempi di Archimede per le potenze intere, aventi la medesima base, ne aveva parlato, ma che poneva diversi problemi nel caso di numeri generici.

Dopo tanto arrovellarsi, trovò la soluzione, utilizzando funzioni inverse di funzioni esponenziali. Il problema, però era quale base utilizzare. Nepero, come raccontato nel suo trattato Mirifici logarithmorum canonis descriptio ne sperimentò diverse, compilando le relative tavole numeriche, nella convinzione che ognuno potesse scegliere il metodo numerucio che gli fosse più comodo e confacente.

In particolare, uno di questi fu basato sulla costante K = (1 – 10^-7), che essendo un numero minore di uno, generava una funzione logaritmica decrescente, con un andamento simmetrico rispetto a quelle attualmente in uso: la sua successione geometrica “si spostava all’indietro” da un numero grande a numeri sempre più piccoli. Nepero partì da 10.000.000 e poi moltiplicò il suddetto numero per potenze successive di 0,9999999. Se indichiamo con Neplog x il logaritmo di Nepero di x, questo possiede le seguenti singolari proprietà:

Neplog 10.000.000 = 0
Neplog 9.999.999 = 1

e così via.

Più importante fu una seconda base, sempre analizzata nel trattato, che consiste in 1/e, ossia l’inverso del numero di Eulero, a cui Nepero diede una definizione che a noi moderni, può apparire alquanto bizzarra, di natura fisico-geometrica:

Si considerino un segmento AB ed una semiretta Ox; un punto P sul segmento ed uno P’ sulla semiretta partono contemporaneamente da A e da O rispettivamente, inizialmente con la stessa velocità proporzionale alla lunghezza del segmento AB, però mentre P’ prosegue a velocità costante, P rallenta continuamente di modo che la sua velocità è sempre proporzionale al resto del segmento che gli resta da percorrere. Il logaritmo dello spazio percorso da P è uguale allo spazio percorso da P’. Lo spazio percorso da P’ in pratica rappresenta il tempo t ed il punto P non raggiungerà mai l’ estremo B del segmento.

Tutte le riflessione di Nepero, però, si scontravano con l’esigenza di stardardizzazione, sempre più impellente per i matematici della sua epoca che trovò portavoce Henry Briggs, professore di geometria nell’appena fondato Gresham College di Londra, grande speculatore di borsa e uno dei primi finanziatori della spedizione dei padri pellegini sul Mayflower.

Henru fece visita a Nepero a Edimburgo, per proporre due importanti modifiche ai logaritmi: il porre il logaritmo di 1 pari a 0 e l’adozione di una base decimale, in cui il logaritmo di 10 fosse pari a 1. Ciò implicava come

log 10x = 1 + logx

Cosa cambia nel concreto ? Che le tavole di logaritmi potessero avere una dimensione limitata, estendendosi soltanto da 1 a 10: per ottenere il logaritmo di un numero più grande, sarebbe bastato soltanto aggiungere un oppportuno intero. Nepero si dichiarò d’accordo, affermando, di avere pensato anche lui la stessa cosa.

I due concordarono di calcolare assieme le nuove tavole numeriche, ma purtroppo Nepero morì il 4 aprile 1617. L’ingrato compito cadde quindi sulle spalle di Brigs, che a fine 1617 pubblicò Logarithmorum chilias prima, i logaritmi degli interi da 1 a 1000, calcolati sino a 14 cifre decimali.

L’idea si diffuse molto rapidamente per l’Europa. John Speidell determinò i logaritmi delle funzioni trigonometriche (come log sin x), pubblicandone le tavole nei suoi New Logarithmes nel 1619.

E nel 1624, Brigs pubblicò Arithmetica Logarithmica, in folio, un lavoro contenente i logaritmi di trentamila numeri naturali fino alla 14ª cifra decimale (da 1 a 20.000 e da 90.000 a 100.000). Inoltre completò una tavola dei logaritmi dei seni e delle tangenti per ogni centesimo di grado fino alla 14ª cifra decimale, con una tavola dei seni naturali fino alla 15ª cifra decimale, e le corrispondenti tangenti e secanti fino alla decima cifra decimale.

Così, intorno al 1630, l’idea di Nepero era diventata patrimonio comune dei matematici europei..

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